聊城大学校报电子版 - 第39期(2017年12月5日) - 第03版:第三版      语音播报
 

时滞系统科学前沿漫谈

作者:数学科学学院 夏建伟

  报告的内容主要包括三个方面:1、时滞系统稳定性分析的综述;2、完成的部分工作;3、相关问题的展望。
  一、时滞系统稳定性分析的综述时滞系统,首先从时滞这个概念着手。什么是时滞呢?也非常容易理解,时间的一个延迟,就称为时滞。时滞现象在我们现实生活中大量存在,打一个比方,一个帅哥骑自行车,可能会遇到路况不太好的情况,他要作出一定的反应,或者说他看到一个美女思想上会出现一定的波动,这种反应或波动肯定不是实时的,根据每个人反应的速度,它有快慢之分,这个东西就称之为时滞。又比如大家每天都在使用电脑上网,网络在传输数据的时候,由于物理或者环境因素,这些数据的传输肯定会存在一些滞后。还有现在大家关心的房价调控问题,它受到的影响也非常多,它的调控策略的实施也不是实时的。上述这些现象都称为时滞,所以说时滞存在于大量的现实生活中。那么时滞会造成什么样的影响呢?一般而言,时滞对于一个系统,它往往是造成系统不稳定,甚至系统崩溃,是影响系统鲁棒性的重要原因之一。这个也非常容易理解。例如刚才讲到的骑自行车的问题,如果这个帅哥反应速度太慢,也就是说时滞太大,导致的后果就是他肯定会摔倒。用一个数学模型解释一下,比如说一个不存在时滞的系统,根据我们系统理论里面的特征值判据,当系统矩阵特征值均小于零时,系统是稳定的。但如果在系统中给加上一个时滞项,通过广义特征值判据我们可以判定系统是不稳定的。所以时滞的出现就破坏了系统的稳定性。但值得注意的是对于一个系统而言,并不是没有时滞时是稳定的,加一个时滞,就一定不稳定。一般来讲,他有一个容许的上限。还是以上面讲过的骑自行车的问题,如果他反应够快(时滞还比较小),他还可以控制这个系统,那么骑自行车不至于摔倒。但超过一定的时滞量,他就要摔倒,这就是一个时滞上限问题。从而对时滞系统的研究就带来这样两个问题———给一个系统,我要给出一个结果,这样一个结果,既可以判定系统的稳定性,又可以计算出这个判断结果所容许的时滞上限?另外,通过判定结果计算出来的时滞上限和理论上的时滞上限到底有多大偏差?
  通常时滞系统的判定结果可分为两大类:一类是时滞无关的结果,另一类称为时滞相关结果。什么是时滞无关的结果呢?举一个例子,比如说对于这样的一个时滞系统,通过选取合适的李亚普诺夫函数,然后求它的导数或者无穷小算子,通常可以得到一个稳定性判据,这么一个稳定性判据里面,如果和时滞这一参数没有任何关系,这样的结果就称之为时滞无关的结果。这样结果有他的优点也有他的缺点,优点就是结果非常简洁且容易验证求解,缺点也非常明显———无法判定时滞上限。所以这样的结果称之为保守性非常大的结果。这是时滞系统稳定性结果里面较为早期的一种判据。
  现在我们更关心的是时滞相关的结果。那么什么是时滞相关的结果呢?显而易见,就是判定结论一方面可以判定系统的稳定性,同时,在这些结果里还要包含时滞的一些信息。这样结果可以计算出容许的时滞上限。显然这种结果的优点是非常明显的—既可以判断出系统的稳定性,又可以估计结果的保守性。他的缺点就是计算量比较大,从工程上来讲它是要付出一定代价的。
  近几年来,大量的学者工作都围绕在时滞系统时滞相关的稳定性判据的研究上。主要是包括以下几类方法:第一类是基于李亚普诺夫函数的选取方法;第二类是基于积分不等式的处理方法;第三类是微积分不等式自身的放缩方法。我们一起来看一下这几类方法。
  第一类称之为基于李亚普诺夫函数的选取的方法,这一类的原理是基于李亚普诺夫函数选取的技巧上。通过构造结构复杂的李亚普诺夫函数,以获取保守性更小的稳定性判据。现在常用的方法包括:1、增广的李亚普诺夫函数方法———所谓增广,是指李亚普诺夫函数矩阵的选取,不再是以往文献中的n阶,而是变成了2n阶,阶数增大了,所含的变量就增多了,那么在系统的判据的可选性上会随之增多,这样往往可以有效降低结论的保守性。2、带有三重积分李亚普诺夫函数方法———这种方法的原理是:不同于以往文献中李亚普诺夫函数只用到了二重积分,在构造李亚普诺夫函数时引入三重积分项。3、基于时滞分割的李亚普诺夫函数方法———在这里面有很多种,有二分法、多分法区间上限分割法、以及概率分割法等。它的思想是通过将时滞进行分割,可以分成两份,这种分法可以是平均分,也可以是不等分,也可以分成n份,也可以把时滞上限进行区分,也可以依概率进行区分,然后将分割后的信息引入到李亚普诺夫函数的一个构造上,那么从而得到一些比较好用的判据。4、放缩的李亚普诺夫函数方法。这种方法的原理是对于李亚普诺夫函数矩阵的要求进行了一些条件的放缩,原来是要求正定,在这里只要求他大于等于0就可以了,从而拓宽了结论可解的范围,进而降低结果的保守性。
  第二类称之为是基于积分不等式的方法。通常要得到一个时滞相关的稳定性判据,一定需要引入一个二重积分项,这个二重积分进行求导或者取无穷小算子之后,会出现一个负的一重积分项,如果把它直接剔除,不考虑对系统的影响,直接令其他项小于零,由于李亚普诺夫函数判据只要导数小于零就可以了,那整个肯定小于零,这其实是对整个导数项做了一个估计,显然这种估计是很粗糙的,这就会对系统的稳定性判据产生非常大的影响。原因很简单,因为即使其他项大于零,但如果是足够小的话,那他与被忽略的负一重积分项的和也可能是小于零的,这样就导致判定结果是无解的,所以这个做法是很不可靠的。基于积分不等式方法的思想就是,通过适当的变换或放缩技术降低这个一重积分项对结果的影响。基于这种思想引申出很多有效的方法。比如离散的李亚普诺夫方法,这种方法的思想是把整个系统进行离散化,通过数值计算方法来把一重积分项消掉,离散化的方法算出来的值非常接近理论的实际值,但是算法是非常复杂的,并且对于时变时滞是无法使用的,所以这种方法的使用范围较窄。另外一种方法叫作模型变换的方法。模型变换方法有两种,一种是非等价的模型变换方法,另外一种是等价的模型变换方法,通常第二种等价变换理论上会更好一点,他们均是通过把系统模型进行变形,在对李亚普诺夫函数求导后,将变形后的系统带入,会引入一个正的一重积分项,从而将对应的负一重积分项消掉。还有一种方法也是近年来最流行和实用的一种方法,称为自由权矩阵方法。这种方法的思想就是在李亚普诺夫函数的导数中利用牛顿-莱布尼兹公式引入一些等式,等式对正负号是不会产生任何影响的,然后再通过常用的不等式变换产生一个正项,将负一重积分项消掉。
  第三类称之为积分不等式自身放缩方法。刚才介绍的李亚普诺夫函数导函数中,这一项负一重积分项对于整个结果是会产生非常大的影响,与刚才这种思想是通过变换,引入一个相应的正项把它消掉的方法不同。另外一种思路是,是否对这个不等式自身进行放缩,从而降低他对结果的影响,这是这种方法的思想。这种方法较早的起源于詹森不等式的放缩方法,近期有涌现出交互图组合方法、微分不等式方法、詹森不等式的进一步的方法、基于自由权矩阵的积分不等式等放缩技术。这些方法都是基于詹森不等式来讨论的,都可以将詹森不等式作为他们的特例。
  二、完成的部分工作围绕时滞系统稳定性分析与控制这个问题我也做了一些工作,所做工作主要集中在下面几个方面:一个是时滞稳定性的结果;另外一个是随机系统的H无穷控制问题。例如,对于一类随机时滞系统,我们利用自由权矩阵的方法,首次给出了时滞依赖的误差系统稳定性判据及L2-L无穷滤波器的设计方法,这个结果发表之后得到国内外众多学者的认可和引用,包括控制领域顶尖杂志上的很多文章对我们的结果进行了评价,指出我们这篇文章是首次提出了时滞依赖的L2-L无穷滤波器的设计方法,目前为止这篇文章的引用率已经达到一百余次。近期,对于一般的时滞系统,我们基于高次齐次多项式函数方法,给出了时滞系统保守性较小的稳定性判据。这种方法的原理是,不同于以往李亚普诺夫函数选取都是二次的,我们可以提高到任意次,随着次数的增加,理论上可以得到任意次数的稳定性判据,然后通过仿真我总可以找到一些我想要的,在特定情况下保守性更小的结果。
  目前,我们现在正在进行基于H无穷表示方法的随机时滞系统分析与控制方面的一些研究。随机现象在我们现实生活中无处不在。例如赌博中的掷骰子问题、股票的价格浮动问题等,都受随机因素的影响。因此,对实际问题进行建模的时候往往要考虑随机因素的影响。有一类著名的随机系统称为伊藤随机系统,金融随机分析里各种资产的价格过程、利率等被假设为伊藤过程,因此其在金融领域占有异常重要的地位。不同于一般非随机系统,研究此类系统除了考虑系统稳定性,还要考虑其适应可测性,用的数学工具也非常多,比如随机过程,测度论,鞅论等,因此研究起来较为困难。但在2012年TAC一篇文中,张维海教授给出了一个非常好的方法,这种方法称为是H无穷表示方法。他的思想是基于线性空间的一组基,结合矩阵拉伸的技术,通过模型转化,将随机系统转换成不带随机项标准的线性系统,当然,这个线性系统维数会随之增高。进而,利用线性系统的一些稳定性判据即可判定随机系统的均方稳定性。基于这样一个问题,我们自然就想到这样一个问题,能不能把这个方法引入到随机时滞系统当中?这是我们前段时间正在做的一些工作,目前也取得了一定的结果,思想是跟刚才介绍的H无穷表示方法类似,但由于时滞的引入,会对整个模型转化提出更高要求,在这个过程中,我们需要引入一个合同变换矩阵,同时借助一些矩阵计算方法,目前这项工作也取得了初步的成果。
  三、相关问题的展望一方面是时滞系统的稳定性研究。对于时滞系统而言的,无论目前采用的积分不等式方法、模型转化技术、自由权矩阵等方法,证明过程中均采用了不等式放缩方法,因此,得到的结果均为充分非必要条件,其对时滞上界的估计只能无限接近于理论上限。如何得到充要条件或者判定结果估计的时滞上界更接近于理论上界?这需要我们对积分不等式的估计、李亚普诺夫函数的选取等方法进行更深入的研究。另一方面,随机系统的平均场理论、随机广义系统分析与控制、在H表示意义下,随机时滞系统的P-阶距的稳定性与控制等问题都是以后值得研究的一些课题。
  上述问题的研究属于控制论的研究范畴,需要以各类数学理论为工具,因此,最后以聊城大学数学科学学院门前一副对联作为汇报的结束语,希望与各位老师、同仁共勉。上联:两爻五行茫茫宇宙无非代数几何微积分;下联:四象八卦悠悠乾坤不过信息控制系统论;横批:万物皆数。
(数学科学学院 夏建伟)

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